El puzle del triángulo: la paradoja del área perdida

Recomponer las piezas de lo que parece un sencillo puzle puede darnos una sorpresa. La paradoja del triángulo revela el diferente comportamiento de los polígonos no ortogonales al reordenarlos y otro aspecto de nuestra percepción visual.

En un momento como el actual, resonante de efemérides ominosas, también conviene recor­dar la luminosa figura del divulgador y filósofo Martin Gardner (1914-2010). Durante décadas nos deleitó instruyéndonos con su columna “Juegos matemáticos” en la más célebre re­vista de divulgación: Scientific American (aquí traducida como “Investigación y Ciencia”).

En 1956, Gardner popularizó un rompecabe­zas ideado unos años antes por Paul Curry, un neoyorquino aficionado a la magia. Consiste en un triángulo rectángulo con catetos de 13 y 5 unidades. De él se recortan dos triángulos con catetos 8:3 y 5:2. Queda una porción rectangu­lar de 3 x 5 (área = 15) que podemos dividir en dos piezas en “L” de 7 y 8 unidades o casillas.

Si reconstruimos el puzle cambiando la posi­ción de los triángulos, nos quedará por rellenar un rectángulo de 2 x 8 (área = 16). Al poner las dos piezas en “L”, que suman 15 unidades, nos encontramos que falta una casilla por rellenar.

¿Cómo puede ser? ¿Dónde ha ido a parar esa unidad de área?

La clave de este puzle está en que son diferen­tes las proporciones de los triángulos peque­ños (8:3 y 5:2) y por tanto también lo son las inclinaciones de sus hipotenusas. La hipote­nusa combinada está ligeramente combada, de forma casi imperceptible (cerca de 1/28 de unidad), hacia afuera o hacia adentro en las distintas configuraciones.

Si nos fijamos, el punto de unión de los trián­gulos coincide con una intersección de la cuadrícula (8, 3), pero en la de abajo el triángulo morado la sobrepasa un poco. El vér­tice superior del triángulo verde coincide abajo con la intersección (5, 2), pero arriba la hipote­nusa del morado pasa un poco por debajo de ese punto.

Disecciones geométricas similares con cambio del área habían sido ya descritas por Edmé G. Guyot (1769) y William Hooper (1794), incluso por Sebastiano Serlio en el siglo XVI. Gardner y otros desarrollaron versiones con polígonos no ortogonales como trapezoides u otras com­binaciones de triángulos con otros polígonos (Fig. 3). Puede demostrarse que la diferencia será exactamente de 1 unidad de área cuando los números de la disección pertenecen a la serie de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…).

La paradoja del área perdida también revela que la idea de “partes de un todo” (las piezas de un rompecabezas, iguales a sí mismas por definición) se impone en nuestra percepción visual sobre una estimación directa de las inclinaciones o rasantes.

Prof. Rafael I. Barraquer, director médico del Centro de Oftalmología Barraquer