El puzle del triangle: la paradoxa de l’àrea perduda

Recompondre les peces del que sembla un senzill puzle pot donar-nos una sorpresa. La paradoxa del triangle revela el diferent comportament dels polígons no ortogonals en reordenar-los i un altre aspecte de la nostra percepció visual.

En un moment com l’actual, ressonant d’efe­mèrides ominoses, també convé recordar la lluminosa figura del divulgador i filòsof Martin Gardner (1914-2010). Durant dècades ens va delectar instruint-nos amb la seva columna “Jocs matemàtics” en la més cèlebre revista de divulgació: Scientific American (aquí traduïda com a “Investigación y Ciencia”).

El 1956, Gardner va popularitzar un trenca­closques ideat uns anys abans per Paul Curry, un novaiorquès aficionat a la màgia. Consisteix en un triangle rectangle amb catets de 13 i 5 unitats. D’ell se’n retallen dos triangles amb catets 8:3 i 5:2. Queda una porció rectangular de 3 x 5 (àrea = 15) que podem dividir en dues peces en “L” de 7 i 8 unitats o caselles.

Si reconstruïm el puzle canviant la posició dels triangles, ens quedarà per emplenar un rec­tangle de 2 x 8 (àrea = 16). En posar-hi les dues peces en “L”, que sumen 15 unitats, ens trobem que falta una casella per omplir.

Com pot ser? On ha anat a parar aquesta unitat d’àrea?

La clau d’aquest puzle rau en el fet que són diferents les proporcions dels triangles petits (8:3 i 5:2) i, per tant, també ho són les inclina­cions de les seves hipotenuses. La hipotenusa combinada està lleugerament blegada, de for­ma gairebé imperceptible (prop d’1/28 d’uni­tat), cap a fora o cap a dins en les diferents configuracions.

Si ens fixem, el punt d’unió dels triangles coincideix amb una intersec­ció de la quadrícula (8, 3), però en la de baix el triangle morat la sobrepassa una mica. El vèrtex superior del triangle verd coincideix a baix amb la intersecció (5, 2), però a dalt la hi­potenusa del morat passa una mica per sota d’aquest punt.

Disseccions geomètriques similars amb canvi de l’àrea havien estat ja descrites per Edmé G. Guyot (1769) i William Hooper (1794), fins i tot per Sebastiano Serlio en el segle XVI. Gardner i altres van desenvolupar versions amb polí­gons no ortogonals com trapezoides o altres combinacions de triangles amb altres polígons (Fig. 3). Pot demostrar-se que la diferència serà exactament d’1 unitat d’àrea quan els números de la dissecció pertanyen a la sèrie de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…).

La paradoxa de l’àrea perduda també revela que la idea de “parts d’un tot” (les peces d’un trencaclosques, iguals a si mateixes per defi­nició) s’imposa en la nostra percepció visual sobre una estimació directa de les inclinacions o rasants.

Prof. Rafael I. Barraquer, director mèdic del Centre d’Oftalmologia Barraquer